第80章 它太过癫狂

　　2109. 格雷戈里·圣文森特是最厉害的化圆为方研究者，他的研究让他发现了很多真理：他找到了双曲线弧的性质，后来纳皮尔的对数也因此被称为双曲对数。蒙图克拉提到他时，说得既巧妙又实在：从来没有人能凭着这么高的天赋去研究化圆为方，而且除了他的主要目标没实现，其他方面的成就都这么大。——德·摩根，A. 《悖论集锦》（伦敦，1872），第70页。

　　格雷戈里·圣文森特，乃最杰出之化圆为方研究者，其研究使他发现诸多真理：他找到双曲线弧之性质，后纳皮尔对数因此被称为双曲对数。蒙图克拉言及他，语带巧妙而实在：从未有人凭如此高天赋研化圆为方，且除主要目标未达，其他方面成就斐然。——德·摩根，A.《悖论汇编》（伦敦，1872），七十页。

　　2110. 我学到几何的时候，知道了有一个命题，几百年来人们一直在找它的证明方法，我就忍不住想试试自己能不能找到。要是我承认直到现在还坚信自己成功了，你大概会觉得我很傻吧。——波尔查诺，伯纳德。《自传》（维也纳，1875），第19页。

　　吾学几何时，知有一命题，数百年间人皆求其证明，吾不禁欲试己能。若吾坦言至今仍信己成功，君或谓吾愚也。——波尔查诺，伯纳德。

　　《自传》（维也纳，1875），十九页。

　　2111. 《平行线理论》

　　众所周知，要完善这一理论，只需证明以下命题，而欧几里得将其作为公理假定：

　　命题：若两条直线EC和DB与第三条直线CP所形成的内角ECF和DBC之和小于两个直角，则这两条直线若充分延长，必将相交。

　　[插图：一幅用于辅助证明的平行线和相交线几何图]

　　证明：作PCA等于CBD的补角PBD，再作ECF、FCG等角，每一个都等于ACE，这样ACF=2·ACE，ACG=3·ACE，依此类推。那么，无论角ACE有多小，总存在某个数n，使得n·ACE=ACH等于或大于ACP。

　　再者，取BI、IL等线段，每一段都等于CB，并作IK、LM等与BD平行，那么图形ACBD、DBIK、KILM等都是全等的，且ACIK=2·ABCD，ACLM=3·ACBD，依此类推。

　　取ACNO=n·ACBD，其中n与表达式ACH=n·ACE中的n取值相同，那么ACNO必然小于ACP，因为ACNO必须加上ONP才能等于ACP。由此可知，ACNO也小于ACH，取两者的n分之一，可得ACBD小于ACE。

　　但如果ACE大于ACBD，那么CE和BD必定相交，因为否则的话，ACE就会是ACBD的一部分。

　　——《数学杂志》，第2卷（1834年），第198页

　　《平行线论》

　　盖欲完此论，唯证一义足矣，欧几里得尝以之为公理：

　　题曰：两线EC、DB与第三线CP所成内角ECF、DBC，其和若小于二直角，则两线延长之，必相交。

　　[图注：绘平行线与相交线，以辅证]

　　证曰：作PCA等于CBD之补角PBD，复作ECF、FCG诸角，各等于ACE，使ACF=2·ACE，ACG=3·ACE，余类推。然则无论ACE多微，必有数n，使n·ACE=ACH，或等于ACP，或大于之。

　　又取BI、IL诸段，各等于CB，作IK、LM平行于BD，则形ACBD、DBIK、KILM皆全等，且ACIK=2·ABCD，ACLM=3·ACBD，余类推。

　　取ACNO=n·ACBD，n与ACH=n·ACE之n同，则ACNO必小于ACP，因ACNO必加ONP乃等于ACP。由此知ACNO亦小于ACH，取其n分之一，则ACBD小于ACE。

　　若ACE大于ACBD，则CE与BD必相交，否则ACE将为ACBD之一部。

　　——《算学杂志》二卷（1834年），百九十八页

　　2112. 你确定用欧几里得的方法无法三等分角吗？我不必为尝试此事白费哪怕一小时而懊悔，但我觉得，我们认为这件事做不到，更多是一种直觉、一种感觉，而非有确凿的证明。不过，一个世纪前，高斯用直尺和圆规作出正十七边形，在当时看来，不也几乎是不可能的吗？——汉密尔顿，W. R.

　　《致德·摩根的信》（1852年）

　　子果信欧几里得法不能三分角乎？吾未尝以试此而悔掷寸阴，然觉世人谓其不可，多出于直觉，非有确证。昔高斯以规尺作十七边正形，百年前视之，不亦类于不可能乎？——哈密尔顿《与德摩根书》（1852年）

　　2113. 这些几何悖论案例中，有一个颇为奇特：弗吉尼亚大学的一名学生（我不确定是不是毕业生）声称，几何学家们假定直线没有厚度是错误的。他基于自己的观点出版了一本学校几何学教材，还得到了纽约一位知名教育官员的认可，并且凭借这一点，这本书差点就被纽约的公立学校采纳为教科书。

　　——纽康姆，西蒙《天文学家回忆录》（波士顿与纽约，1903年），第388页

　　几何悖论中，有一事甚奇：弗吉尼亚大学一士（未知是否及第），谓几何家假定直线无厚为谬。遂据己说撰《几何学》，得纽约名学官之许，几为纽约官学所采。

　　——纽康姆《星历家忆录》（波士顿、纽约，1903年），三百八十八页

　　2114. 直线和圆最显着的区别是什么，又是什么让它们在初等几何中得以明确区分？是它们的自相似性。直线的每一寸都与其他任何一寸重合，圆的每一段弧都与同圆的其他任何一段弧重合。那么，欧几里得的不足在哪里呢？在于他没有引入具有同样性质的第三种曲线——螺旋线。直线、圆、螺旋线——它们分别代表平移、旋转以及两者的结合——本应成为几何学的工具。要是有了螺旋线，我们就绝不会听说三等分角、化圆为方等问题是不可能的了。——德·摩根，A.引自格雷夫斯《W. R. 汉密尔顿爵士生平》第3卷（纽约，1889年），第342页

　　直线与圆，何者最别？何以于初等几何中分判明晰？盖其自相似也。直线寸寸相契，圆孤段段相合。欧几里得之阙，在未引入第三类曲线——螺线，其性亦同。直线、圆、螺线，各表平移、旋转及二者之合，当为几何之器。若有螺线，必不闻三分角、化圆为方等事之不可也。——德摩根引自《哈密尔顿爵士传》三卷（纽约，1889年），三百四十二页

　　2115. 唯有疯狂的数学不受束缚，

　　它太过癫狂，世俗的锁链无法将其捆绑，

　　时而凝视纯粹的空间，欣喜若狂，

　　时而绕着圆奔跑，却以为找到了方形。

　　——蒲柏，亚历山大《愚人志》，第4卷，第31-34行

　　唯狂算不羁，

　　疯甚难羁以俗链，

　　时凝太空目狂喜，

　　旋绕圆周谓得方。

　　——蒲柏《愚士篇》四卷，31-34句

　　2116. 或者，这是不是一个刁钻的想法，想借此获得优势，

　　让务实的灵魂保持活跃，

　　就像那珍贵的化学粉末，或是令人困惑的化圆为方问题？

　　——夸尔斯，菲利普引自德·摩根《悖论集锦》（伦敦，1872年），第436页

　　抑或此乃狡计，欲求一长，

　　使务实之魂常醒，

　　如彼奇药，或惑人之化圆为方欤？

　　——夸尔斯引自《悖论汇编》（伦敦，1872年），四百三十六页

　　2117. 就像那几何学家，费尽心力

　　想要测量圆，却一无所获，

　　思索着他所需要的原理。

　　——但丁

　　——《天堂》，第33篇，第122-125行

　　[就像那位老练的几何学家，

　　他试图化圆为方，却苦于没有

　　能指引他前行的法则。[12]]

　　——引自弗兰克兰《欧几里得的故事》（伦敦，1902年），第101页

　　[12] 关于这几行诗的另一种译本，见1858条。

　　如彼几何家，殚精竭虑

　　欲量圆体，终无所获，

　　苦思其所需之理。

　　——但丁《天境》三十三章，122-125句

　　[犹彼老几何，

　　欲化圆为方，而无术以导其行。[12]]

　　——引自《欧几里得传》（伦敦，1902年），百一页

　　[12] 此数句另译见1858条

　　2118. 在数学方面，他比第谷·布拉赫或埃拉·佩特都要高明：

　　因为他能用几何尺度，

　　量出酒罐的大小；

　　用符号和正切，直接算出

　　面包或黄油是否缺斤少两；

　　还能用代数，巧妙地说出

　　一天中时钟敲响的时刻。

　　——巴特勒，塞缪尔《休迪布拉斯》，第一部分，第一章，第119-126行

　　其于算学，胜

　　第谷、埃拉多也：

　　以几何尺度，

　　可量酒瓮之容；

　　用符号正切，直算

　　面包、黄油之亏盈；

　　又以代数，巧言

　　钟鸣之时。

　　——巴特勒《胡迪布拉斯》一卷一章，119-126句

　　2119. 我常常感到惊讶，数学作为真理的精髓，仰慕者竟如此之少，且热情淡薄。经过反复思考和细致探究，我终于找到了原因：尽管理性得到了满足，想象力却备受冷落；当理性在它专属的乐园中尽情享受时，想象力却在枯燥的沙漠中疲惫跋涉。——柯勒律治，塞缪尔《一个数学问题》

　　吾常怪算学为真理之菁华，而好之者寡且淡。深思细究，方知其故：盖理虽得飨，而象却受饿；理游于其乐园，象疲于其荒漠也。——柯勒律治

　　《一算题》

　　2120. 最后我们走进宫殿，来到觐见厅，只见国王端坐在宝座上，两旁侍立着达官显贵。宝座前的大桌上摆满了地球仪、天球仪和各种各样的数学仪器。尽管我们进来时，宫中侍从纷纷避让，动静不小，但国王丝毫没有留意我们。他当时正埋头演算一道难题，我们等了一个小时，他才解出来。国王身边各站着一个年轻侍从，手里拿着拍子。看到国王有空了，一个侍从轻轻拍了拍他的嘴，另一个拍了拍他的右耳。国王像突然惊醒似的吓了一跳，目光转向我和同行的人，才想起我们来的缘由——他之前已经听说了。他说了几句话，立刻就有一个拿着拍子的年轻人走到我身边，轻轻拍了拍我的右耳。我赶紧使劲摆手，表示自己不需要这玩意儿。后来我才发现，这让国王和整个宫廷对我的智力评价很低。我猜国王问了我几个问题，我也用自己会的所有语言跟他打招呼。发现彼此语言不通后，按照国王的吩咐，我被带到宫里的一间住处（这位君主在款待异乡人方面，比他的历任先王都要周到），还派了两个仆人照顾我。晚餐送来了，有四位贵族陪我一起吃。饭菜分两道，每道又各分三道菜。第一道里，有一块切成等边三角形的羊肩肉，一块切成菱形的牛肉，还有一个做成摆线形状的布丁。第二道是两只捆成小提琴形状的鸭子，像长笛和双簧管的香肠和布丁，还有一块做成竖琴形状的牛胸肉。仆人们把面包切成圆锥体、圆柱体、平行四边形和其他几种几何图形。——乔纳森·斯威夫特

　　——《格列佛游记；勒皮他游记》第二章

　　终入宫殿，至觐见之所，见王坐于宝座，两侧皆贵近之臣。座前大几，罗列地球、天球及诸般算器。吾辈入时，宫人居士纷然避让，声息颇着，然王竟未之顾。盖其时王方潜心一难题，吾辈侍立逾时，乃得解。王侧各有一少年侍从，手持拍板。及王稍闲，一侍轻拍其口，一侍轻拍其右耳。王骤惊，如梦中醒，顾吾与同行者，始忆吾辈来意——其先已闻之矣。王言数语，即有持板少年至吾侧，轻拍吾右耳。吾亟摇手示意，不需此物。后乃知，此举令王及满朝皆轻吾智。度王所问，吾以所知诸语对之，终莫能通。王遂命吾居宫中一室（此王待客之礼，逾于先代），且遣二仆侍之。晚餐至，有四贵臣陪食。食分两俎，每俎三馔。首俎：羊肩肉切为等边三角，牛肉为菱形，布丁作摆线形。次俎：双鸭捆为提琴状，香肠、布丁类长笛、双簧管，牛胸肉则为竖琴形。仆辈切面包为圆锥、圆柱、平行四边形及诸般几何之形。——斯威夫特《格列佛游记·勒皮他游记》第二章
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