第258章 数学新篇，李冶发明天元术

　　绍兴四十年，秋。

　　真定府（今河北正定）城内一处清静的院落，枣树挂果，蝉鸣已歇。

　　书房内，一位年近四旬、面容清癯的学者，正对着满案算筹和写满奇异符号的草纸凝神沉思。

　　他便是被誉为“宋元数学四大家”之一的李冶（字仁卿）。

　　此时的他，因中原战乱，流寓北方，被岳飞幕府聘为记室参军 兼府学教授，主要职责是文书和教育，但从未间断对算学的痴迷与研究。

　　案头，堆放着《九章算术》、刘徽注、《缉古算经》、贾宪 的“增乘开方法” 与“开方作法本源图”（即贾宪三角），以及更令他振奋的、不久前才由商队辗转带来的、南宋秦九韶 所着《数书九章》 的部分抄本。

　　秦九韶的“大衍求一术”（一次同余式组解法）和“正负开方术”（高次方程数值解法）令他拍案叫绝，但同时也感到，这些卓越的算法在表达和推演上，仍依赖于大量文字叙述和算筹摆放，过程繁复，不够抽象和系统。

　　“盈不足、方程、勾股、少广……诸术虽精，然表述各异，推演迁曲。可否如 ‘天’ 之统摄万物，立一 ‘元’ ，以贯之？”

　　这个念头在李冶心中盘旋已久。

　　他所谓的“元”，便是未知数的概念。

　　汉代的“方程术”已隐含未知数思想，但未抽象出来。

　　贾宪、秦九韶的工作为解决高次方程提供了强大工具，但列方程的过程本身，仍缺乏一种通用、简洁的符号语言。

　　他的目光落在草纸上一行行用汉字、特定记号 和算筹式 混合书写的算式上，那是他尝试解决一个涉及田亩、赋税、人工的复杂实际问题时列出的关系。

　　问题最终归结为求解一个三次方程。

　　他用秦九韶的“正负开方术”可以解出，但列出这个方程的过程，却写满了大半张纸，反复设“假令”、进行“如积相消”。

　　“太繁！” 李冶掷笔，在房中踱步。

　　“须有一种法，如同用 ‘天、地、人、物’ 代指方位，设立一个符号，代表所求之数，然后依题意，直接列出其与已知数之关系算式。”

　　他想起道教典籍中常用“元”、“太乙”等字代表本源、初始。

　　又想到《周易》 用阴阳爻符号推演变化。

　　“或许，可用一特定汉字，如 ‘天元’ ， 或简化符号，代表所求未知之大。

　　再立 ‘地元’ 代表另一未知， 或以位置上下表示幂次……”

　　灵感如电光石火般闪现。

　　他重新扑到案前，取过一张新纸。

　　不再用长段文字描述，而是用毛笔写下：

　　“设天元一为方田之广。”（设未知数x为长方形田的宽）

　　然后，根据题意，“其长多广三步”，则长为 (x 3)。“田积一百二十步”，则有 x (x 3) = 120。

　　他尝试用一种新的方式书写这个等式。

　　他将常数项称为“太极”或“常”，写在最下方。

　　将未知数的一次项称为“天元”，将二次项称为“天元平方”。

　　他借鉴算筹记数中“空位表示零”和位置表示值的原则，创造性地使用一种“系数阵列” 式的写法，不同位置代表未知数的不同次幂。

　　例如，将上述方程 x2 3x - 120 = 0，表示为一种自上而下（或自下而上，他尚未完全统一）排列的系数序列，其中每一个系数所在的位置，就暗含了它属于未知数的哪一次幂，而不再需要每次都写出“天元”、“平方”等字。

　　这看似只是书写形式的改变，却是革命性的一步。

　　它将设立未知数、根据条件列出代数方程、以及对方程进行移项、合并同类项等运算的过程，符号化、程序化了。

　　从此，解决应用问题不再需要每次从头进行复杂的文字推理和算筹演示，而是可以先“立天元一”（设未知数），再“如积相消”（列出方程），然后运用已有的开方术求解。

　　这大大简化了思维过程，提高了效率，也使得处理更复杂、更高次的问题成为可能。

　　李冶将这套方法，命名为“天元术”。

　　在随后数月里，他不断用此法去尝试解决《九章算术》、《缉古算经》乃至秦九韶《数书九章》中的难题，以及幕府中实际遇到的工程计算、粮饷分配、营寨布局等问题。

　　他发现，天元术不仅适用于二次、三次方程，理论上可推广至任意高次方程。

　　他还初步探讨了多元高次方程组（即后来“四元术”的雏形）的可能性，意识到可以设立“天元”、“地元”、“人元”、“物元”等多个未知数。

　　一日，他将用天元术重新演绎、并补充了自己新解的若干算题，整理成篇，呈送给欣赏其才学的岳飞过目。

　　岳飞虽非算学专家，但于军旅之中深知算学之要，见其所述方法，条理清晰，推演简明，远胜旧法，不禁赞叹：“先生此术，化繁为简，直指核心，实乃算学之利器！

　　可名之曰 ‘天元’ ， 有开宗立元之功。

　　幕府中凡钱粮、工程、测量之事，皆可试以此术核算。”

　　得到岳飞的认可与支持，李冶备受鼓舞，开始着手系统撰写一部阐述天元术 的着作，这便是后世着名的《测圆海镜》 的雏形。

　　他将算筹与符号结合，建立了相对完整的一元高次方程 列方程与表示方法。

　　尽管其符号系统尚未完全统一和简化到后世“天元式”的标准形式，但核心思想已然确立。

　　“天元术” 的创立，标志着中国代数学 进入了一个新的阶段。

　　它从以算法为中心，转向了以方程为中心，为解决更复杂的数学问题提供了强大而系统的工具。

　　这份诞生于宋金对峙前线、受南宋算学最新成果启发、又由北地学者完成的数学突破，很快将通过商旅、学者的往来，回传至南宋，与秦九韶等人的工作相互辉映，共同将十三世纪的中国数学 推向那个时代的世界巅峰。

　　而这巅峰的光芒，也必将照亮这个时代科技与工程的各个角落。
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